برگرفته از: نشریه جوانه اندیشه،شماره 35

افسانه های شطرنج (1)

شطرنج، یکی از قدیمی ترین بازی های دنیا است و در قرن های بسیار، بسیار دور اختراع شده است. بنابراین عجیب نیست اگر افسانه های زیادی درباره ی آن گفته باشند. در این جا به نقل یکی از آن ها می پردازیم.

افسانه می گوید: شطرنج از هندوستان آمده است. شرام شاه (king Sheoram) که از حرکات زیرکانه و بی شماری که شخص می توانست با مهره های شطرنج انجام دهد به هیجان آمده بود وقتی که فهمید که بنیان گذارش یکی از اتباع همان قلمرو است، دستور داد مخترع را به حضورش ببرند تا به پاس این اختراعِ شگفت شخصاً به او پاداش بدهد.

مخترع شطرنج که شخصی به نام «سسا» (Sessa) بود به حضور شاه بار یافت. شاه با مهربانی گفت: «میل دارم بپاس این اختراع عجیب پاداشِ خوبی به تو بدهم.» دانشمند، تعظیم کرد، شاه ادامه داد: «آن قدر غنی هستم که بتوانم بهترین آرزویت را برآورم، اکنون آن چه می خواهی و لازم داری گو.»
سسا خاموش ماند.

شاه او را تشویق به سخت گفتن کرد و گفت: «شرم نکن، هر چه می خواهی بگو برای تأمین بهترین آرزوی تو از هیچ چیز دریغ نخواهم کرد.»

او جواب داد: «پادشاها! لطفت بی پایان است. اما مرا فرصتی دهید تا درباره ی خواسته ام بیندیشم و فردا به عرض رسانم.»

روز بعد سسا با درخواست بی نهایت حقیرانه اش، شاه را متعجب کرد:
او گفت: «ای پادشاه! میل دارم در اولین خانه ی صفحه ی شطرنج یک دانه گندم داشته باشم.»

شاه که تصور می کرد اشتباه شنیده، پرسید: «یک دانه گندم معمولی؟»

بله، شاها، در خانه ی دوم، دو دانه، در خانه ی سوم، چهار دانه، در خانه ی چهارم، هشت دانه، در خانه ی پنجم، 16 دانه، در خانه ی ششم، 32 دانه و...

شاه با خشم گفت: «کافی است، دانه های گندمی که برای 64 خانه ی صفحه ی شطرنج آرزو می کنی خواهی گرفت؛ برای هر خانه، دو برابر خانه ی قبلی. اما بدان که خواهشت شایسته و در خور بخشندگیِ من نیست. سپس پادشاه گفت. برو! نوکران من کیسه گندمت را برایت می آورند.

سسا تبسمی کرد و رفت جلوی در کاخ به انتظارِ پاداش نشست.

هنگام ناهار، شاه به یاد سسا افتاد و پرسید آیا این مخترع پاداش فقیرانه اش را دریافت کرده است، و در جواب به او گفتند: شاها! فرمانت مطاع است. ریاضی دانانت مشغول محاسبه اند تا ببینند چه مقدار گندم باید دریافت کند.

شاه روی در هم کشید. زیرا عادت نداشت که این قدر در اجرای فرمانش تعلل و تأخیر شود.

شب، قبل از این که به بستر برود مجدداً پرسید که آیا کیسه ی گندم سسا داده شده است، ولی گفتند: شاها! ریاضی دانانت دایماً در کارند و امیدوارند قبل از طلوع آفتاب کار محاسبه پایان پذیرد.
شاه با خشم گفت: «چرا این قدر مسامحه می کنند؟ تا قبل از این که از خواب بیدار شوم باید پاداش سسا تا آخرین دانه ی گندم داده شده باشد، دیگر در این باره دستوری نخواهم داد! صبح به عرض شاه رساندند که رئیس ریاضی دانان دربار اجازه ی شرفیابی خواسته است. شاه او را به حضور پذیرفت.

شاه، قبل از این که حکیم، سخنی بگوید گفت: می خواهم بدانم پاداش محقرانه ای که سسا خواسته بود به او داده شده است؟

حکیم پیر جواب داد: «علت این که صبح به این زودی شرفیاب شدم همین است. با کمال وظیفه برای محاسبه ی گندم سسا کوشیده ایم، مقدارش بسیار سر سام آور است»

شاه با بی حوصلگی سخن او را قطع کرد و گفت: «هر قدر سرسام آور باشد انبارهای غله من می تواند جواب گوی آن باشد. پاداشی که به او قول داده شده است باید تحویل شود!

حکیم گفت: رضایت خاطر و انجام آروزی سسا در قدرتِ تو نیست در تمام انبارهای غله ات مقدار گندمی که سسا خواسته است وجود ندارد. اصولاً در تمام خطه ی سلطنتت این مقدار گندم یافت نمی شود. در حقیقت دنیا هم چنین گندمی را به خود ندیده است. اگر بخواهی به قولت وفا کنی باید دستور دهی همه ی زمین های دنیا به مزارعِ گندم تبدیل شوند، همه ی دریاها و اقیانوس ها خشک شوند و همه ی یخ ها و برف های قطب های دور دست ذوب شوند و بعد اگر تمام این مناطق و سرزمین های عظیم دنیا زیر کشت گندم قرار گیرد شاید ممکن باشد تعداد گندمی که سسا به عنوان پاداش خواسته است به او داده شود.

شاه که حیرت زده به گفتار محاسبش گوش می داد متفکرانه گفت:
آن عدد غول پیکر چیست؟

حکیم پاسخ داد: «پادشاها 18446744073709551615 است.»

کمی محاسبه

چنین است آن چه افسانه حکایت می کند و ما نمی دانیم که آیا واقعیت دارد یا خیر ولی دانستن این که چگونه پاداش سسا چنین عدد سرسام آوری می شود مشکل نیست و با کمی حوصله می توانیم آن را حساب کنیم: باید مجموع گندم های 64 خانه ی صفحه ی شطرنج را محاسبه کنیم. حاصل بنابراین خواهیم داشت:
 
 

و در نتیجه:

 به عبارت دیگر باید 2 را 64 بار در خودش ضرب کنیم و در نهایت یکی از آن کم کنیم.

برای تسهیل محاسبه می توانیم 64 عامل ضرب را به 6 دسته 210 و یک دسته ی 24 گروه بندی کنیم.

مقدار 210 مساوی است با 1024 و 22 مساوی است با 16 بنابراین عددی که در جست وجوی آن هستیم عبارتست از:

1-(16×1024×1024×1024×1024×1024×1024) = تعداد گندم ها

و با ضرب 1024×1024 عدد 1048576 به دست می آید و در نتیجه ی حاصل ضرب بالا را می توان به صورت زیر نوشت:

1-(16×1048576×1048576×1048576) =تعداد گندم ها

و پس از اتمام محاسبات خواهیم داشت:

  18،446،744،073،709،551،615 = تعداد گندم ها

اگر بخواهید تجسم درستی از این تعداد گندم داشته باشید می توانید آن را به عدد قابل درک دیگری تبدیل کنید. مثلاً اندازه ی انباری که برای ذخیره ی تمام این گندم ها لازم است را پیدا کنید. با اندکی محاسبه می توان دید که یک متر مکعب گندم به طور متوسط شامل 15،000،000 دانه گندم است.

بنابراین پاداشی که مخترع شطرنج تقاضا کرده به انباری که 1،200،000،000،000 متر مکعب یا 1،200 کیلومتر مکعب باشد احتیاج دارد. انباری که برای این کار انتخاب می کنیم اگر 4 متر ارتفاع و 10 متر عرض داشته باشد به طول 30،000،000 کیلومتر یا هشتاد برابر فاصله ی زمین تا ماه خواهد بود.